ENSAYO DE 600 PALABRAS, ETAPAS DEL ALGEBRA

ETAPAS DEL DESARROLLO DEL ALGEBRA

Para el Algebra en el siglo XIX se rompieron los cánones clásicos del álgebra, con criterio cada vez más abstracto, de los conceptos fundamentales de la aritmética y del álgebra ordinarias , lo que dio por resultado la creación de nuevos entes que pusieron de manifiesto el carácter básico de la llamada “ley de composición”.
La historia de la matemática no hace sino comprobar tal carácter.
En el siglo XVIII el auge del cálculo infinitesimal y los sucesivos fracasos de resolver la ecuación de quinto grado por radicales detuvieron el progreso del álgebra, pero en el siglo XIX, y en especial en la segunda mitad, el álgebra se dirige por distintos caminos hacia lo que se considera hoy su problema esencial: el estudio de las estructuras algebraicas por sí mismas.
Mientras adquieren gran desarrollo el estudio de las formas y de los invariantes, y la teoría de los grupos se extiende a la teoría de cuerpos y anillos, la creación de sucesivas generalidades y extensiones del concepto de número da nacimiento a la noción abstracta de ley de composición, cuya aplicación a los nuevos entes amplía en grado considerable el campo del álgebra.
El primero de estos entes es el vector, que si bien era utilizado ya en la composición de fuerzas y de velocidades por los tratadistas de mecánica desde fines del siglo XVII, no tuvo repercusión entonces entre los matemáticos.
Mientras que por un lado los vectores, y sus sucesores los tensores, con el auxilio de los recursos del análisis matemático, encuentran importantes aplicaciones en diversos campos de la física; por otro lado, los vectores contribuyeron a la creación de las nuevas álgebras, por ejemplo, el álgebra lineal.
En este sentido cabe señalar las obras de William Rowan Hamilton (1805-1865) y de Hermann Günther Grassmann (1809-1877).
El álgebra alcanzó por primera vez la libertad en las décadas 1830-40 y 1840-50, con las teorías matemáticas de Hamilton y de Grassmann. Estos dos liberadores del álgebra se encuentran entre los mayores profetas matemáticos del siglo XIX.
Hamilton fue un sabio múltiple que sobresalió en astronomía, física y matemática. Se ocupó de los vectores (el nombre es invención suya) y creó un sistema de números complejos que llamó Quaternions (cuaternios) que satisface todas las propiedades de las operaciones de la aritmética ordinaria, con excepción de la propiedad conmutativa de la multiplicación. Los cuaternios aparecen en 1843, aunque el tratado completo sobre el tema: Lectures on Quaternions, de Hamilton no se publicó hasta diez años después.
Un signo de la evolución hacia una concepción cada vez más abstracta de las construcciones algebraicas puede verse en una frase de Cayley, de fines de siglo, al aludir a las discusiones acerca del valor de los cuaternios en vista de sus aplicaciones prácticas: “el concepto de cuaternio es mucho más hermoso que cualquiera de sus aplicaciones”.
Después de 1870 puede señalarse un nuevo progreso hacia la estructura general de las álgebras con la obra de Benjamin Peirce (1809-1880) sobre las álgebras lineales asociativas. Se establecen allí los conceptos de elementos nilpotentes e idempotentes, cuyo estudio inició el autor en 1864, aunque no se publicó sino hasta después de su muerte en 1881.
El álgebra lineal, cuyo desarrollo se inicia en el siglo XIX, mantiene un rasgo común con las geometrías no euclidianas y el nuevo análisis: su contribución a eliminar de la matemática conceptos intuitivos y hábitos mentales aún arraigados hasta en mentalidades matemáticas; así Möbius paso al lado de los cuaternios sin verlos, al rechazar los complejos de cuatro unidades por no satisfacer la propiedad conmutativa de la multiplicación.